ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ЧИСЛОВОЙ ОСИ

Бойков Илья Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики,Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), boikov@pnzgu.ru
Айкашев Павел Владимирович, студент, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), math@pnzgu.ru
Семов Михаил Александрович, аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), math@pnzgu.ru

517.392

Актуальность и цели. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений являются активно развивающимся направлением вычислительной математики, что в первую очередь связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений к механике, аэродинамике, электродинамике, физике. При этом следует отметить два обстоятельства: 1) аналитическое решение гиперсингулярных интегральных уравнений возможно лишь в исключительных случаях; 2) спектр приложений гиперсингулярных интегральных уравнений постоянно расширяется. Этим обусловлена актуальность построения и обоснования численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений. В настоящее время остались неразработанными методы приближенного решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений на числовой оси. Статья посвящена построению и обоснованию приближенного решения одного класса линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений на числовой оси методом сплайн-коллокации со сплайнами нулевого порядка.
Материалы и методы. Обоснование разрешимости и сходимости метода сплайн-коллокации к приближенному решению одного класса линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений, определенных на числовой оси, основано на применении методов функционального анализа и теории приближений.
Результаты. Предложен и обоснован метод сплайн-коллокации со сплайнами нулевого порядка для приближенного решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений, определенных на числовой оси.
Выводы. Построена вычислительная схема, позволяющая эффективно решать прикладные задачи механики, аэродинамики, электродинамики, физики.

гиперсингулярные интегральные уравнения, сплайн-коллокационный метод.

1. Лаврентьев, М. А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы /М. А. Лаврентьев // Труды ЦАГИ. – 1932. –Т. 118. – С. 3–56.
2. Иванов, В. В. Приближенное решение особых интегральных уравнений /В. В. Иванов // ДАН СССР. – 1956. – Т. 110, № 1. – С. 15–18. 
3. Иванов, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов. – Киев : Науковадумка, 1968. – 287 с.
4. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И. К. Лифанов. – М. : Янус, 1995. – 520 с.
5. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений /И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. – 316 с.
6. Бойков, И. В. Приближенное решение линейных гиперсингулярных интегральных уравнений методом коллокаций/И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова,М. А. Семов, А. А. Есафьев//Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико математические науки.–2014.–№ 3(31).–С.101-113.
7. Бойков, И. В. Приближенное решение нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений / И.В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, М. А. Семов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –2014. – № 4 (32). – С. 69–78.
8. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 1 (13). – С. 80–90.
9. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений с нечетными сингулярностями целого порядка / И. В. Бойков, А. И. Бойкова //Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 (15). – С. 15–27.
10. Boykov, I. V. An approximate solution of hypersingular integral equations / I. V. Boykov, E. S. Ventsel, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. – 2010. –Vol. 6, № 60. – P. 607–628.
11. Boykov, I. V. An approximate solution of nonlinear hypersingular integral equations /I. V. Boykov, E. S. Ventsel, V. A. Roudnev, A. I. Boykova//Applied Numerical Mathematics.– 2014. – Vol. 86,December.–P 1-21.
12. Capobiano, M. R. On the numerical solution of a nonlinear integral equations of Prandl's types / M. R. Capobiano, G. Criscuolo, and P. Junghanns // Operator Theory: Advances and Applications. – Birkhauser, Basel, 2005. – Vol.160. –P.53–79.
13. Capobiano, M. R. Newton methods for a class of nonlinear hypersingular integral equations / M. R. Capobiano, G. Criscuolo, and P. Junghanns // Numer. Algorithms. –2010. – № 55. – P. 205–221.
14. Вайникко, Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский. –М. : Янус-К, 2001. – 508 с.
15. Mandal, B. N. Applied Singular Integral Equations /B.N.Mandal, Chakrabarti. –CRS Press, USA, 2011.–264 p.
16. Numerical solution on nonlinear hypersingular integral equations of the Peierls type in dislocation theory / V. Karvin,V.G.Maz'ya,A.B.Movchan,J.C.Willis,R.Bullouch //SIAM J. Appl.Math.–2000.-Vol.60, №2.–P.664–678.
17. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа /Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. –М.:Наука, 1965. – 540 с.
18. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений /И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. – 316 с.